一个由所有实数组成的集合$(t\in\mathbf{R})$所标记的，由集合$M$到它自身的映射族$\{g^t\}$称为$M$的单参数变换群,如果对于所有的$s,t\in\mathbf{R}$满足

\begin{equation}

\label{eq:26.21.07}

g^{t+s}=g^tg^s

\end{equation}

而且$g^0$是恒等映射(它使每点固定).证明单参数变换群是交换群，且每个映射$g^t:M\to M$是一对一的.

证明:首先，单参数变换群有恒等映射作为乘法单位元，而且，由\ref{eq:26.21.07}可知满足乘法结合律，而且每个元素$g^t$都存在逆元$g^{-t}$.而且，易得$g^tg^s=g^{t+s}=g^{s+t}=g^sg^t$.因此是交换群.

下面证明$g^t$是單射，这是因为对于任意$t$来说，$g^t$都有逆映射，因此$g^t$必为单射(为什么?).